목차
실전 예제로 보는 제대로 푸는 법
사진 출처: EBSI 고3 문제풀이 공통[2025학년도 고3 6월 모의평가 해설] 수학
최솟값을 구할때에는 일반적으로 3가지입니다. 1.미분을 활용하여 함수의 최대 최소를 알아내는 법 2.부등식을 활용하여 구하는 경우 3.특수한 상황의 조건을 잘 적용하는 경우
딱 봐도 복잡해 보이므로, 3번일 가능성이 높습니다.
최고차항의 계수가 1인 삼차함수f(x)가 나오는 순간
- 차수성(최고차항의 계수를 활용하는것)
- 연속함수
- 미분가능
- 적분가능
- 그래프의 개형(3차함수는 그래프의 개형이 정해져있고 극대 극소와 변곡점의 사이의 관계 등 이미 정해진것을 의미합니다.)
5가지의 개념을 옆에 적습니다.
(가)의 조건이 g(x)는 실수전체에서 증가하고 미분가능하다이므로, 그래프와 식으로 (가)조건이 성립한다면 어떤 상황인지 표현합니다.(식과 그래프로)
미분이라는 단어가 나왔으므로, 미분을 할 가능성이 높습니다.
정적분으로 표현된 함수가 항상 0보다 크거나 같다는 것이 무슨 의미인지 생각해봅니다.
정적분을 가로x세로 하면서 쌓아가는 것을 이미지화 하면 좋습니다.
(나) 조건문을 해석합니다.
절대값 기호는 2가지입니다. 절대값 기호 안에 있는 값이 0을 되는 기준으로 경우의수를 나누거나, 그래프의 개형을 그릴때, x축을 기준으로 아래있는 것을 위로 올리는 것입니다.
앞에서, 가로x세로를 하면서 쌓는 이미지를 생각했으므로, 식이 아니라 그래프의 개형으로 접근하는 것이 타당하다는 것을 알 수 있습니다.
g(t)의 개형을 보았을 때, h(t)가 양수가 아닌 지점에서 전체가 양수가 되려면 k=2여야 합니다.
k=2라는 것을 알게되었으므로, 기존의 알고 있는 정보를 활용해서 식을 전개할 수 있습니다.
f(x)가 y=2x+2와 x=2에서 접한다는 것을 이용해 식을 쓰고 (가)조건을 증가한다 라는 점에서 f'(x)>=0인것을 활용합니다.
접한다 <-> f(a)=g(a) , f'(a)=g'(a)
f'(x)>=0이라는 조건을 만족하기 위해서는, 2차 그래프의 개형상 대칭축에서 y>=0보다 커야한다는 점을 알 수 있고, 그러면 p의 최소값을 구할 수 있습니다.
즉, 고등학생이 수학문제를 푼다는 것은 주어진 조건을 해석하고 그 해석한 것을 서로 끼워맞추는 작업에 불과합니다.
그러면 평상시에는 어떻게 공부해야할까요?
무엇을 이해해야하는가?
수학을 잘하기 위한 첫걸음은 수업을 통해 기본적인 정의와 개념을 명확히 이해하는 것입니다. 수업에서 다루는 내용은 수학의 기초를 쌓는 데 중요한 역할을 하며, 이러한 개념들이 앞으로의 문제 해결에 있어 필수적인 도구가 됩니다. 수업 중에 제시되는 이론, 공식, 정의 등을 단순히 듣고 넘기지 말고, 왜 그런지, 어떻게 도출되었는지를 깊이 이해하려고 노력해야 합니다. 이해가 잘 되지 않는 부분은 즉시 질문하거나 추가 학습을 통해 보완하는 것이 중요합니다. 기본 개념이 탄탄해야 이후의 문제 풀이와 응용에서도 흔들림 없이 실력을 쌓아갈 수 있습니다.
수업 시간에 얻는 이해가 깊을수록, 다음 단계인 개념 정리, 문제 풀이, 복기 과정이 더욱 효과적으로 이루어질 수 있습니다. 그러므로 수업에서 제공되는 정보를 최대한 활용하고, 적극적으로 이해하려는 자세가 필요합니다.
수학적 개념의 실용적 정리
수학을 잘하기 위해서는 개념을 명확히 이해하고 정리하는 것이 필수입니다. 단순히 공식이나 정의를 암기하는 것이 아니라, 그 개념이 어떻게 유도되었고, 어떤 상황에서 사용되는지를 체계적으로 정리해야 합니다. 예를 들어, 함수 f(x)와 g(x)가 x=a에서 접한다는 의미는 f(a)=g(a)와 f'(a)=g'(a)이라는 뜻과 같습니다 이처럼 각 개념의 의미와 그 적용 범위를 정확히 이해하고 정리하는 과정이 중요합니다.
문제에 적용하여 풀어보기
이해한 개념을 실제 문제에 적용하는 연습을 하는 것이 다음 단계입니다. 개념을 머리로 이해하는 것만으로는 부족하며, 다양한 유형의 문제를 풀어보면서 그 개념을 실제로 어떻게 사용할 수 있는지를 몸으로 익히는 것이 필요합니다. 문제를 풀면서 개념이 어떻게 적용되는지 직접 경험하면, 그 개념이 더욱 확실히 기억에 남게 됩니다. 또한, 문제를 통해 새로운 시각으로 개념을 이해하는 기회를 얻게 됩니다.
복기와 분석
문제를 풀면서 틀리거나 완벽하게 이해하지 못한 부분이 있다면, 반드시 복기하고 분석하는 과정을 거쳐야 합니다. 왜 그 문제를 틀렸는지, 어떤 개념이나 방법이 부족했는지를 스스로 분석하는 것이 중요합니다. 이러한 복기 과정에서 자신의 약점을 파악하고, 이를 보완하기 위한 추가 학습을 할 수 있습니다. 완벽히 이해한 문제와 그렇지 않은 문제를 구분하여 학습 계획을 세우는 것이 효율적인 학습의 핵심입니다.
이 방법을 통해 수학적 사고력을 기르고, 문제 해결 능력을 꾸준히 향상시킬 수 있습니다. 개념을 명확히 이해하고, 이를 문제에 적용하며, 부족한 부분을 복기하여 보완하는 과정을 반복한다면, 수학 실력은 자연스럽게 성장하게 될 것입니다.